PHP实现简单线性回归之数据研究工具

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简单线性回归建模背后的基本目标是从成对的 X值和 Y值（即 X和 Y测量值）组成的二维平面中找到最吻合的直线。一旦用 最小方差法找到这条直线，就可以执行各种统计测试，以确定这条直线与观测到的 Y值的偏离量吻合程度。

线性方程（ y = mx + b）有两个参数必须根据所提供的 X和 Y数据估算出来，它们是斜率（ m）和 y 轴截距（ b）。一旦估算出这两个参数，就可以将观测值输入线性方程，并观察方程所生成的 Y预测值。

要使用最小方差法估算出 m和 b参数，就要找到 m 和 b 的估计值，使它们对于所有的 X值得到的 Y值的观测值和预测值最小。观测值和预测值之差称为误差（ y _i- (mx _i+ b) ），并且，如果对每个误差值都求平方，然后求这些残差的和，其结果是一个被称为 预测平方差的数。使用最小方差法来确定最吻合的直线涉及寻找使预测方差最小的 m和 b的估计值。

可以用两种基本方法来找到满足最小方差法的估计值 m和 b。第一种方法，可以使用数值搜索过程设定不同的 m和 b值并对它们求值，最终决定产生最小方差的估计值。第二种方法是使用微积分找到用于估算 m和 b 的方程。我不打算深入讨论推导出这些方程所涉及的微积分，但我确实在 SimpleLinearRegression 类中使用了这些分析方程，以找到 m和 b 的最小平方估计值（请参阅 SimpleLinearRegression 类中的 getSlope() 和 getYIntercept 方法）。

即使拥有了可以用来找到 m和 b的最小平方估计值的方程，也并不意味着只要将这些参数代入线性方程，其结果就是一条与数据良好吻合的直线。这个简单线性回归过程中的下一步是确定其余的预测方差是否可以接受。

可以使用统计决策过程来否决“直线与数据吻合”这个备择假设。这个过程基于对 T 统计值的计算，使用概率函数求得随机大的观测值的概率。正如第 1 部分所提到的， SimpleLinearRegression 类生成了为数众多的汇总值，其中一个重要的汇总值是 T 统计值，它可以用来衡量线性方程与数据的吻合程度。如果吻合良好，则 T 统计值往往是一个较大的值；如果 T 值很小，就应该用一个缺省模型代替您的线性方程，该模型假定 Y值的平均值是最佳预测值（因为一组值的平均值通常可以是下一个观测值的有用的预测值）。

要测试 T 统计值是否大到可以不用 Y值的平均值作为最佳预测值，需要计算随机获得 T 统计值的概率。如果概率很低，那就可以不采用平均值是最佳预测值这一无效假设，并且相应地可以确信简单线性模型是与数据良好吻合的。（有关计算 T 统计值概率的更多信息，请参阅第 1 部分。）

回过头讨论统计决策过程。它告诉您何时不采用无效假设，却没有告诉您是否接受备择假设。在研究环境中，需要通过理论参数和统计参数来建立线性模型备择假设。